Zur Nullstellenbestimmung gibt es viele Möglichkeiten
- Pq-Formel oder abc-Formel
- Substitionsverfahren
- Polynomdivision
- Ausklammern
Wenn es sich um eine Funktion dritten Grades oder höher handelt, kann man die NST meist mit der Polynomdivision berechnen. Problematisch wird dies, wenn es keine rationale Zahl als Teiler gibt. Dann reicht es oftmals die Nullstelle des Polynoms als Näherung anzugeben. Dieses Verfahren möchte ich in diesem Tipp vorstellen:
Als Beispiel nehmen wir folgende Funktion:
x³ +3x² +2=0
Wenn man sich die Funktion in einem Koordinatensystem anschaut, fällt auf, dass die Funktion nur eine NST hat. Sie schneidet einmal die x-Achse. Außerdem erkennst du dann, dass die Funktion keine "runde" NST besitzt.
Die Formel für das Newtonverfahren lautet:
x = x - (f(x)) / (f´(x))
1.Startwert für x berechnen. Der Wert kann fast frei gewählt werde, sollte aber möglichst in der Nähe der Nullstelle befinden. Wenn man sich unsere Funktion anschaut, wäre x = - 3 als Startwert geeignet.
2.Ableitung bestimmen: Wir müssen die Funktion erstmal ableiten
f(x) = x³ +3x² +2
f´(x) = 3x ^2 + 6x
3.Nun können wir das in die Formel einsetzen
x = x - (f(x)) / (f´(x))
x = -3 - (f(-3)) / (f´(-3))
Nebenrechnungen
f(−3)=(−3) ^3 +3⋅(−3) ^2 +2=2
f ′ (−3)=3⋅(−3) ^2 +6⋅(−3)=9
Nehmen wir wieder die Formel zur Hand
x 1 =−3 −2 / 9 =−3,22222
Jetzt haben wir x1 bestimmt, aber wir müssen noch weiterrechnen:
x 2 =x 1 −f(x 1 ) / f ′ (x 1 ) =−3,22222−f(−3,22222) / f ′ (−3,22222) = −3,19622
Das ganze Verfahren kann man jetzt so fortführen, bis man schließlich einen genauen Wert für die NST hat. Also bist sich die entsprechenden Stellen nicht mehr ändern. Man könnte das Verfahren z. B bei 4 Dezimalstellen abbrechen. In diesem Beispiel ändern sich die ersten 4 Dezimalstellen bei x 3 und x 4 nicht mehr. Somit hätte man bei x 4 die Lösung NST (-3,1958|0)
x 1 =−3,22222
x 2 =−3,19622
x 3 =−3,19582
x 4 =−3,19582