Extremwerte

Zur Ermittlung der Extremwerte wird die 1. Ableitung gebildet und null gesetzt. Die 1. Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an. Im Extremwert ist die Steigung der Funktion gleich null.

Ich erkläre die Vorgehensweise am folgenden Beispiel:

f(x) = x³ - 3x² + 3x

Als erstes wird die 1. Ableitung gebildet:

f´(x) = 3x² - 6x + 3

Die 1. Ableitung wird dann null gesetzt:

0 = 3x² - 6x + 3 / : 3 0 = x² - 2x + 1  /pq-Formel 

x1,2 = - p / 2 ± √(p2/4 -q) 

x1,2 = 1 ± √1-1 x1,2 = 1 

Somit hat der Graph an der Stelle x = 1 die Steigung 0.

Diese Bedingung f´(x) = 0 ist Notwendig für die Existenz eines Extremwertes. Trotzdem ist es nicht zwingend ein Extremwert. Es handelt sich nur dann wirklich um einen Extremwert, wenn auch die Hinreichende Bedingung stimmt. Die Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremwertes ist der Vorzeichenwechsel (VZW) von f´(x) bei der Extremstelle.

• Ein VZW von f´(x) bei x von + nach - --> Hochpunkt
• Ein VZW von f´(x) bei x von – nach + ---> Tiefpunkt

Andere Möglichkeit, als hinreichende Bedingung ist, dass die zweite Ableitung, f´´(x) ungleich null ist. Danach wird geprüft ob es größer oder kleiner als Null ist.

• f´´(x) < 0 --> Hochpunkt
• f´´(x) > 0 --> Tiefpunkt

Dieses wenden wir nun an die oben genannte Funktion an. Zunächst bilden wir die 2. Ableitung:

f(x) = x³ - 3x² + 3x f´(x) = 3x² - 6x + 3 f´´(x) = 6x – 6 

Wenn wir jetzt den ermittelnden x-Wert in die 2. Ableitung einsetzten, ergibt dies 0 und somit liegt kein Extremwert vor.

f´´(1) = 0

Anderes Beispiel:

f(x) =1/4x^4 – x³ +1

1. Notwendige Bedingung

   f´(x)  = 0  f´(x) = x³ - 3x² 0 = x³ - 3x² / x ausmultiplizieren  
   
   0 = x² (x-3) 
   
   x1/2 = 0 
   
   x3 = 3 

2. Hinreichende Bedingung

-Vorzeichenwechsel:

Bei x=0 ist eine doppelte Nullstelle. Dort wechselt f´(x) das Vorzeichen nicht. Somit liegt auch kein Extremwert vor.

Bei x=3 wechselt f´(x) das Vorzeichen von – nach +. Somit liegt also ein Tiefpunkt vor.

-2.Ableitung:

f´´(x) = 3x² - 6x f´´(0) = 0, also kein Extremwert f´´(3) = 9, also ein Tiefpunkt  

Um jetzt den y-Wert des Extremwertes zu ermitteln, setzt man den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) ein.

f(x) = 1/4x^4 – x³ +1 f(3) = -5,75  

T(3/-5,75)

Zusammenfassung:

• Erste Ableitung Null setzen
• VZW an der möglichen Extremstelle prüfen oder 2. Ableitung bilden
• Wenn ein Extremwert vorliegt Funktionswert durch einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion ermitteln